婆罗摩笈多模型是近几年来中考数学中常考的几何模型之一。它不是冷门定理，是手拉手全等里的顶级结论，在初中各大考试试卷中几何压轴、选择填空压轴、大题证明都高频出现。下面我们来详细探究这个模型的多种变式。

婆罗摩笈多，是位印度数学家和天文学家，他提出了著名的婆罗摩笈多定理。如果一个圆内接四边形(即对角互补的四边形)的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点(反之亦能成立)。

1.垂直“婆罗摩笈多”模型

证明过程：

分别过点B和点D作EF的垂线，垂足分别为H和K。

∵∠AOB=90∘，BH⊥EF，∴∠AOE+∠BOH=90∘，∠OBH+∠BOH=90∘，

∴∠AOE=∠OBH。

∵∠OEA=∠BHO=90∘，∠AOE=∠OBH，AO=BO，

∴△OAE≅△BOH(AAS)，

∴OE=BH。

同理，可证得△OEC≅△DKO，∴OE=DK。∴BH=DK。

∵∠BHF=∠K=90∘，∠BFH=∠DFK，BH=DK，

∴△BFH≅△DFK(AAS)，

∴BF=FD，即F为BD的中点。

总结：垂直“婆罗摩笈多”模型判定的条件

① 双等腰直角（两个等腰直角三角形）；

② 共顶点（两个等腰直角三角形共直角顶点）；

③ 一垂直（过直角顶点的直线垂直于一对相邻底角顶点的连线）。

2.中点“婆罗摩笈多”模型

证明过程：

延长 到点 ，使得 =，连接 。

∵ =，∠=∠，=， ∴ △≅△（SAS），

∴ =，∠=∠， ∴ ∥，∴ ∠+∠=180∘。

∵ ∠+∠=90∘+90∘=180∘，∴ ∠+∠=180∘，∴ ∠=∠。

∵ =，∠=∠，==，∴ △≅△（SAS），∴ ∠=∠。

∵ ∠+∠=90∘，∴ ∠+∠=90∘，∴ ∠=90∘，

∴ ⊥。（结论 1）

∵ △≅△，△≅△，

∴ △=△=△+△=△+△=△。（结论 2）

∵ △≅△，∴ =。 ∴ =12，∴ =12。（结论 3）

总结：中点“婆罗摩笈多”模型判定大招

① 双等腰直角（两个等腰直角三角形）；

② 共顶点（两个等腰直角三角形共直角顶点）；

③ 一中点（过直角顶点的直线平分一对相邻底角顶点的连线）。

注意：结论 2 只需要同时满足①②即可得出。

例题探究

题一：根据已知条件抽离出模型后直接使用结论.

题二：根据已知条件画辅助线构造模型，再使用结论.

解题过程

真题实战练习：

为什么中考爱考婆罗摩笈多？

综合能力拉满

全等 + 旋转 + 中点 + 垂直 + 辅助线构造

区分度高

普通学生不会，会模型直接秒

可动态、可折叠、可旋转

非常适合出压轴题

写在最后：

婆罗摩笈多口诀是双等腰直角三角形手拉手 + 垂直 + 中点。它是手拉手的进阶版、难点版。在中考常考形式有填空题（求线段长度、角度、面积），选择题（判断结论对错，一般多结论题），几何大题（证明垂直 证明中点 求线段关系 CF=21AD 动态几何）。